План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции

Лекция 11

Работа в электростатическом поле

Потенциал

Связь меж напряженностью и потенциалом


План

  1. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле

  2. Возможный нрав электростатического поля. Аксиома о циркуляции

  3. Потенциал

  4. Связь меж напряженностью и потенциалом

  5. Электронный диполь. Энергия диполя


1. Работа по перемещению заряда в План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции электростатическом поле

Н
айдём работу электростатических сил по перемещению точечного заряда q в электростатическом поле точечного заряда Q.

При перемещении на малый вектор работа равна:

, (11.1)

потому что проекция перемещения равна (рис.11.1): .

По План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции определению напряжённости поля

,

тогда

. (11.2)

Напряжённость поля точечного заряда Q:

.

Вычислим работу при перемещении заряда q от точки 1 до точки 2:



. (11.3)

По закону сохранения энергии работа совершается за счёт уменьшения возможной энергии взаимодействия зарядов:

, (11.4)

потому можно План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции из (11.3) получить выражение для возможной энергии взаимодействия точечных зарядов в вакууме:



Константу комфортно считать равной нулю, потому что на очень огромных расстояниях заряды не ведут взаимодействие: при должно быть . Итак:

. (11.5)

Замечание к (11.5): если План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции заряды имеют однообразный символ, энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, потому что произведение зарядов положительно; при разноимённых зарядах энергия притяжения выходит отрицательной.


^ 2. Возможный нрав электростатического поля. Аксиома о циркуляции

Из (11.3) видно, что работа План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции не находится в зависимости от линии движения, а только от исходного и конечного положения заряда q. Такие поля именуются возможными. Электростатическое поле потенциально. Потенциальны поля только недвижных зарядов.

Если точки 1 и План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции 2 совпадают, другими словами линия движения замкнута, , и (11.3) даёт

,

.

Тут интеграл берётся по замкнутому контуру L. Так как и , то

.

Отсюда

(11.6)


Интеграл в левой части (11.6) именуется циркуляцией вектора напряжённости. Контур L был произвольным, потому подтверждена

аксиома о циркуляции План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю.

Для того, чтоб векторное поле было потенциально, нужно и довольно, чтоб циркуляция вектора напряжённости поля по произвольному замкнутому контуру План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции была равна нулю, другими словами:

.

Напомним, что потенциальны только поля Недвижных зарядов.


3. Потенциал

Введём определение потенциала:

Потенциал данной точки поля – это энергия единичного положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку:

. (11.7)

Если точечный заряд План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции q поместить в точку поля, имеющую потенциал , то энергия заряда будет равна

. (11.8)

Потенциал – скалярная энергетическая черта поля. Так же как и возможная энергия, потенциал определяется с точностью до неизменного слагаемого. Обычно считают, что : нескончаемо План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции удалённая от зарядов точка является началом отсчёта возможной энергии. Потенциал поля на бесконечности тоже равен нулю. Но за начало отсчёта можно взять всякую точку: принципиально не абсолютное значение энергии План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции либо потенциала, а изменение энергии в каком-то процессе; не абсолютное значение потенциала, а разность потенциалов 2-ух точек поля.

Не считая (11.7), есть и другое определение потенциала (11.9): потенциал данной точки поля численно равен работе План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции по перемещению единичного точечного пробного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность.

. (11.9)

Эти определения эквивалентны, если положить и .

Размерность потенциала – вольт:

.

Из (11.7) и (11.5) получим выражение для потенциала поля, сделанного точечным зарядом Q на План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции расстоянии r:

. (11.10)

Для потенциала справедлив принцип суперпозиции (11.11): потенциал, сделанный в данной точке системой зарядов qi, равен алгебраической сумме потенциалов, сделанных в данной точке каждым зарядом системы в отдельности.

. (11.11)

К примеру, для системы План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции точечных зарядов на рис.11.2:

.

В случае безпрерывно распределённых зарядов

. (11.12)

Тут интеграл берётся по всей области, где локализованы заряды, а потенциал , сделанный практически точечным зарядом , локализованным в простом малом объёме , равен

. (11.13)

Энергия системы План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции точечных зарядов может быть рассчитана по формуле

, (11.14)

где – суммарный потенциал, сделанный всеми зарядами системы, не считая заряда , в точке, где находится заряд . К примеру, для системы, состоящей из 2-ух зарядов и , находящихся на расстоянии План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции r друг от друга:

, где – потенциал, сделанный ВТОРЫМ зарядом там, где находится 1-ый, а – потенциал, сделанный ПЕРВЫМ зарядом там, где находится 2-ой; тогда

.


^ 4. Связь меж напряженностью и потенциалом

Работа по перемещению заряда q на вектор План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции в поле напряжённостью равна .

. (11.15)

Работа совершается за счёт уменьшения возможной энергии:


. (11.16)

Тогда получим:



. (11.17)

Отсюда получим, что напряжённость поля – это градиент потенциала:

(11.18)

Напомним, что градиент – это вектор, проекции которого на координатные оси равны План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции личным производным скалярного поля (в этом случае – потенциала ) по соответственной координате:

(11.19)

Другими словами:

.

Вектор градиента ориентирован в сторону большего возрастания величины. Так как в (11.18) стоит символ «–», то напряжённость ориентирована в сторону наибыстрейшего План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции убывания потенциала. Это понятно, потому что сила, действующая на положительный заряд, ориентирована по полю ; положительный заряд переносится полем туда, где потенциал меньше.

Формула (11.18) даёт связь напряжённости и потенциала в дифференциальном виде План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции. Получим эту связь в интегральном. Для этого найдём работу по перемещению заряда из точкт 1 в точку 2. С одной стороны, из (11.4):



и определения потенциала :

,

получим выражение для работы сил поля, полезное План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции при решении задач:



. (11.20)

С другой стороны, работа силы при перемещении заряда q равна

, (11.21)

где интегрирование ведётся по хоть какой полосы, соединяющей точки 1 и 2. Тогда, приравняв правые части (11.20) и (11.21), получим:

(11.22)

Можно обосновать (11.22), интегрируя (11.17) по произвольному контуру План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции (для удобства поменяли на элемент длины контура ):





.

Если поле однородно () и ориентировано, к примеру, повдоль оси OX, то из (11.21):



либо

. (11.23)


Эквипотенциальной поверхностью именуется совокупа точек места, имеющих однообразный потенциал: .

Полосы напряжённости всегда перпендикулярны План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции эквипотенциальным поверхностям. При переносе заряда по данной эквипотенциальной поверхности работа силами поля совершаться не должна, потому что разность потенциалов в (11.20) равна нулю. Как следует, сила , а означает, и напряжённость перпендикулярны линии План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции движения.

Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда – концентрические сферы (рис.11.3).

На рис.11.4 голубым цветом изображены эквипотенциальные поверхности для разных систем зарядов:

a – поле точечного положительного заряда;

b – поле 2-ух разноимённых зарядов;

c
– поле 2-ух зарядов План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции 1-го знака.


На рис.11.5 также изображено рассредотачивание потенциалов поля 2-ух разноимённых зарядов. На рис.11.6 изображено поле заряженного плоского конденсатора: пунктир – силовые полосы поля, а эквипотенциальные поверхности – сплошные полосы. Снутри конденсатора поле План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции практически однородно; эквипотенциальные поверхности – равноотстоящие друг от друга плоскости, перпендикулярные силовым линиям.






^ 5. Электронный диполь. Энергия диполя


Определения: электронным диполем именуется система 2-ух схожих по величине обратных по знаку точечных зарядов:

q и –q (рис.11.7).

Плечо План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции диполя – вектор, начинающийся на отрицательном заряде и оканчивающийся на положительном.

Дипольный момент электронного диполя – вектор, равный произведению модуля заряда диполя на плечо диполя

. (11.24)

Поместим диполь в однородное электронное поле; – угол меж вектором План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции напряжённости и дипольным моментом (рис.11.8). На заряды q и –q будут действовать силы, однообразные по величине



и обратные по направлению – это пара сил. Диполь в электронном поле ориентируется по полю. При План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции момент сил тоже .

В
ращающий момент пары сил равен произведению силы на плечо пары, другими словами расстояние меж линиями сил :

,

.

Пара сил поворачивает диполь по часовой стрелке на рис.11.8. Направление вектора момента План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции пары можно найти по правилу буравчика: ориентирован от нас перпендикулярно плоскости рисунка . Совсем в векторном виде:

. (11.25)

Работа наружных сил по повороту диполя на угол против часовой стрелки (рис.11.8) равна



и идёт на повышение энергии диполя План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции в электронном поле:

.

Тогда



.

Отсюда

,

, (11.26)

потому что , а и не зависят от угла (диполь считаем жёстким, ).

Поместим диполь в неоднородное электронное поле (рис.11.9). Пусть угол . Тогда сила, действующая на положительный заряд и План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции направленная по полю, больше, чем действующая на отрицательный и направленная против поля, потому что справа на рис.11.9 поле посильнее:

.

В итоге появилась результирующая сила, направленная по полю. Диполь втягивается в область сильного поля, если План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции .

И напротив (рис.11.10): если , то диполь выталкивается из области сильного поля.

Реально свободный диполь ориентируется по полю, а потом втягивается в сильное поле.

Можно вычислить результирующую силу, действующую на План Работа по перемещению заряда в электростатическом поле Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о циркуляции диполь в электростатическом поле. В теме «Механика» было показано, что

;

тогда


.


Так что если , то . Если поле усиливается повдоль оси OX , то проекция результирующей силы на ось OX положительна:

.

Если , и

.







plan-raboti-centra-psihologo-mediko-socialnogo-soprovozhdeniya-na-oktyabr-2012-goda-dlya-ou.html
plan-raboti-departamenta-gosudarstvennih-zakupok-zabajkalskogo-kraya-na-2013-god.html
plan-raboti-departamenta-po-grazhdanskoj-oborone-i-pozharnoj-bezopasnosti-zabajkalskogo-kraya-na-2013-god.html